初三概率表格怎么画

发布时间: 2023-11-30 11:57 阅读: 文章来源:1MUMB103769PS

上一讲我们用树状图或表格求两步试验的概率,这一讲加一点点难度。

来看一道例题:

从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选2人参加比赛,请问恰好选中甲和乙的概率是多少?

先思考三分钟。

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有答案了吗?

下面一起来看看,怎么解决这道题。

从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选2人参加比赛,有多少种等可能结果呢?

有的同学开始嘀咕:“甲和乙,甲和丙......”结果数到最后,也不知道有没有数漏。

这种数法,要想避免重数和漏数,需要一点分类讨论的技巧。

不过,我们还有另一个选择,就是把“从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选2人”看作是两步试验,即“选第一个人”和“选第二个人”,这样,就可以画树状图或列表解决了。

先说画树状图。

第一步,写标题:第1人,第2人,结果。

第二步,在“第1人”的下方写上甲、乙、丙、丁和戊,表示选中的第一个人有5种等可能结果。

第三步,在“第2人”的下方,“第1人”的右方,写上乙、丙、丁和戊。

为什么不写甲?因为如果“第1人”选中了甲,那么“第2人”就不可能还选到“甲”。同样的道理,如果“第1人”选中了乙,那么“第2人”也不可能是乙。以此类推,完成整个树状图。

从树状图可看出,从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选2人,可以得到20种等可能结果,其中,恰好选中甲和乙的结果有2种,所以概率为2/20,即1/10。

再说列表。

第一步,画一个66的表格。

第二步,填写表头、第一行与第一列。

第三步,填写结果。值得注意的是,有5个结果是不合理的,比如(甲,甲),表示“第1人”和“第2人”都是甲,这个结果应该舍去,我们只要在相应的格子画对角线就行。以此类推,完成整个表格。

从表格也可看出,从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选2人,可以得到20种等可能结果,其中,恰好选中甲和乙的结果有2种,所以概率为2/20,即1/10。

对比上一讲的例题和这道例题:

1.抛一枚均匀硬币两次,两次正面朝上的概率是多少?2.从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选2人参加比赛,恰好选中甲和乙的概率是多少?

这两题都可以看做是两步试验,但是在解决过程中发现,后者在画树状图和列表时,有些结果需要舍去,而前者就不存在这个现象。

为什么呢?

这是因为,前者在“第1次抛”出现的结果,在“第2次抛”时仍有可能出现,这相当于把结果放了回去;而后者在“第1人”选择的结果,不会再放回去,所以在选“第2人”时,就少了一个选项。我们不妨把像前者这样的问题,称为“放回”型问题;把像后者这样的问题,称为“不放回”型问题。

有的同学可能要问:“我在做题时,要怎样才能分清是放回型,还是不放回型呢?”很简单,先看你要求概率的这件事情,能否看做是两步试验或两步以上的试验,然后看每步试验的结果是否会相互影响。如果有,就是“不放回”型问题;如果没,就是“放回”型问题。

举两个例子:

1.小明准备换装外出。他有3件上衣,分别是红色、黄色、白色;有2条裤子,分别是黑色、棕色。请问他选中白色上衣和黑色裤子的概率是多少?2.小明在洗杯子和杯盖。杯子有3个,其中2个有杯盖,小明洗完后,把杯盖随意盖上,请问所有的杯盖和杯子刚好配套的概率是多少?

分析看看,谁是“放回”型问题,谁是“不放回”型问题?

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有答案了吗?一起来看看。

第1题可以看做是“上衣”和“裤子”的两步试验,而对“上衣”的选择不会影响到对“裤子”的选择,所以这是“放回”型问题。

第2题可以看做是为“第1个杯盖”和“第2个杯盖”选杯子的两步试验,可是,“第1个杯盖”选中的杯子,“第2个杯盖”不会再选,所以两者的结果会相互影响,这是“不放回”型问题。

来看下一道例题:

小明和小红用两个可自由转动的转盘玩游戏,转盘A和转盘B如图。同时转动两个转盘,若停下来出现一红一蓝,则小明胜,否则小红胜。请问这游戏公平吗?

老规矩,3分钟思考。

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好了,一起来看看怎么解决这道例题。

先问一个问题:什么叫“游戏公平”?

有的同学立马举手了:“双方赢的概率都是50%!”

对,但不全对。游戏公平的标准,是游戏双方赢的概率相等,不一定非要50%。就拿剪刀石头布来说,双方赢的概率都不是50%,但依然可以是公平的。

从这个角度看,这道题想要我们做的,就是比较小明和小红赢的概率,然后下结论。

因为有两个转盘,所以可以看做是一个两步试验。有的同学于是画了一个这样的树状图:

对不对呢?不对,因为转盘B出现的结果中,“黄色”和“蓝色”的可能性明显不相等。

那怎么办?很简单,根据题意,把转盘B中的蓝色区域等分成两份,记为蓝1、蓝2,这样转盘B出现的结果,就变成了“黄色”、“蓝1”和“蓝2”,它们的可能性是相等的。

弄明白了这两点,我们就可以用树状图或表格来解决这道题了。

这道例题告诉我们,在求某些非等可能事件的概率时,可以用等分、编号等方式,将其转化为等可能事件来解决。

再来看一道例题:

抛3枚质地均匀的硬币,都是正面朝上的概率是多少?

看完题目,有的同学就着手准备列表,却发现怎么都列不出来。

为什么?

因为这不是一个两步试验,而是“第1枚”、“第2枚”和“第3枚”组成的三步试验。表格有行、列两个维度,解决两步试验没问题,但是超过两步就无能为力了。

那怎么办?用树状图。

从树状图可见,所有的等可能结果有8种,其中“三枚正面朝上”的结果有1种,所以概率为1/8。

这样看来,对于两步试验的解决,树状图和表格平分秋色;但是如果试验超过两步,就是树状图的天下。

总结

1.画树状图或列表时,要留意问题是“放回”型还是“不放回”型,主要看每一步试验的结果之间时候会相互影响。没影响就是“放回”型,有影响就是“不放回”型。

2.在求某些非等可能事件的概率时,可以用等分、编号等方式,将其转化为等可能事件来解决。

3.对于两步试验的解决,树状图和表格平分秋色;但是如果试验超过两步,就是树状图的天下。

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